数を掛け算の形で表現すること。 わかりやすいのは、「素因数分解」。 ある数を素数の掛け算の形に変形すること。

因数分解は、多項式を単項式に変形する操作。 簡単に言うと足し算でずらずら繋がっている式を掛け算で表現される1個の式に変形する。

全てに共通して掛けられている数で括りだす。

\begin{eqnarray} 2x + 2 &=& (2 \times x) + (2 \times 1) \\ 2x + 2 &=& 2(x + 1) \end{eqnarray}

まずは数式をざっと眺めてみてこれができるかどうかを検討する。

つまるところこれだけ覚えておけば良い

$$ acx^2+(ad + bc)x + bd =(ax + b)(cx + d) $$

他の簡単版の公式は $ a,b,c,d $ がそれぞれ 1 のバージョンか $ b,d $ が同一値のバージョン

じゃ具体的にどういう操作をするのか？

適当に問題を作るために適当な数式を作ってみる

\begin{eqnarray} (5x + 3)(4x + 10) &=& 20x^2 + 50x + 12x + 30 \\ &=& 20x^2 + 62x + 30 \end{eqnarray}

こうなる。 $ 20x^2 + 62x + 30 $ を因数分解してみる。

ぱっと見ると2が共通因数になるので括りだす

\begin{eqnarray} 20x^2 + 62x + 30 &=& 2(10x^2 + 31x + 15) \end{eqnarray}

$ 10 $ と $ 15 $ を素因数分解する

\begin{eqnarray} 20x^2 + 62x + 30 &=& 2(10x^2 + 31x + 15) \\ &=& 2((2 \times 5)x^2 + 31x + (3 \times 5)) \end{eqnarray}

ここに出てきた $ 2,3,5,5 $ を2つ掛けて足して 31 になる組み合わせを探す

ということで調べた結果が $ a = 2, b = 5, c = 5, d = 3 $ ということになったので公式よりこうなる。 \begin{eqnarray} 20x^2 + 62x + 30 &=& 2(10x^2 + 31x + 15) \\ &=& 2((2 \times 5)x^2 + 31x + (3 \times 5)) \\ &=& 2((2x + 5)(5x + 3)) \end{eqnarray}

さらに変形してこうすると元の式と同じになることがわかる。 \begin{eqnarray} 20x^2 + 62x + 30 &=& 2(10x^2 + 31x + 15) \\ &=& 2((2 \times 5)x^2 + 31x + (3 \times 5)) \\ &=& 2(2x + 5)(5x + 3) \\ &=& (5x + 3)(4x + 10) \\ \end{eqnarray}

問題でよくある $ a = 1, c = 1 $ のパターン \begin{eqnarray} acx^2+(ad + bc)x + bd &=& 1 \times 1 \times x^2 + ((1 \times d) + (b \times 1))x + bd \\ &=& x^2 + (d + b)x + bd \\ &=& (x + b)(x + d) \end{eqnarray}

変数を整理すると \begin{eqnarray} x^2 + (a + b)x + ab &=& (x + a)(x + b) \end{eqnarray}

↑の公式の $ a = b $ であるパターン

\begin{eqnarray} \begin{cases} x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) \\ a = b \\ \end{cases} \end{eqnarray}

より

\begin{eqnarray} x^2 + (a + a)x + (a \times a) &=& (x + a)(x + a) \\ x^2 + 2ax + a^2 &=& (x + a)^2 \end{eqnarray}